Ispit Matematika
Matrica je:
Iskljucivo sema brojeva
Sema, proizvoljnih elemenata
Broj
Uvek kvadratna
Dimenziju matrice odredjuje:
Broj njenih vrsta I kolona
Broj njenih vrsta
Broj njenih kolona
Ukupan broj elemenata matrice
Element aij matrice, nalazi se u:
I-toj vrsti I proizvoljnoj koloni
I-toj vrsti I j-toj koloni
J-toj koloni I proizvoljnoj vrsti
I-toj koloni I jt-
Sabiranje matrica:
Dimenzije matrica moraju da budu iste
Je uvek moguce
Vazi zakon komutacije
Ne vazi zakon komutacije
Mnozenje matrica:
Je uvek moguce
Vazi zakon komutacije
Dimenzije matrica moraju da budu uskladjene
Ne vazi zakon komutacije
Rezultat mnozenja matrica dimenzija mxn I nxk je matrica dimenzija:
Mxk
Nxn
Kxm
Nxm
Element cij matrica C=AB dobija se kao zbir proizvoda elemenata:
J-te vrste matrice A I j-te kolone matrice B
I-te vrste matrice A I j-te kolone matrice B
I-te vrste matrice B I j-te kolone matrice A
J-te vrste matrice B I j-te kolone matrice A
Mnozenje matrice skalarom:
Ne vazi zakon komutacije
Je uvek moguce
Vrsi se tako sto se svaki element matrice pomnozi sa skalarom
Vazi zakon komutacije
Jedinicna matrica I sastoji se od:
Jedinica
Jedinica na sporednoj dijagonali, a ostalo su nule
Jedinica na glavnoj dijagonali, a ostalo su nule
Nula na glavnoj dijagonali a ostalo su jedinice
Jedinicna matrica I:
Sastoji se od nula na glavnoj dijagonali, a ostalo su jedinice
Ima osobinu AI=IA=A
Je neutralni element za operaciju mnozenja
Mora da bude kvadratna
Nulta matrica sastoji se od:
Nula u proizvoljnoj vrsti
Nula u proizvoljnoj koloni
Nula
Je obavezno kvadratna
Determinanta se moze pridruziti:
Svakoj matrici
Samo kvadratnoj matrici
Samo jedinicnoj matrici
Iskljucivo pravougaonoj matrici
Determinanta treceg reda se izracunava:
Lopitalovim pravilom
Sarusovim pravilom
Laplasovim pravilom
Lajbnicovim pravilom
Sarusovo pravilo vazi za izracunavanje determinanti:
Bilo kog reda
Treceg reda
Drugog reda
Cetvrtog reda
Laplasovo pravilo vazi za izracunavanje determinanti:
Samo treceg reda
Samo drugog reda
Samo cetvrtog reda
bilo kog reda
Determinanta reda viseg od 3 se moze izracunati:
Laplasovim pravilom
Sarusovim pravilom
Lopitalovim pravilom
Lajbnicovim pravilom
Determinanta ima vrednost nule ako su:
Svi elementi nule
Dve vrste (kolone) su jednake
Dve vrste (kolone) su proporcionalne
Elementi na glavnoj dijagonali su nule
Determinanta menja znak ako:
Kolone zamene mesta sa vrstama
Dve vrste zamene mesta
Nikada
Dve kolone zamene mesta
Osobine determinante su:
Zamenom dve vrste (kolone determinanta menja znak)
Determinanta se ne menja ako jednoj vrsti(koloni) dodamo linearnu kombinaciju preostalih vrsta(kolona)
Zamenom vrste I kolone determinanta menja znak
Determinanta se ne menja ako jednoj vrsti (koloni) dodamo linearnu kombinaciju preostalih kolona(vrsta)
Determinanta ima vrednost 0 ako su:
Svi elementi 0
Ako su dve vrste (kolone) jednake
Ako je jedna vrsta jednaka jednoj koloni
Ako su dve vrste (kolone) proporcionalne
Determinanta se mnozi brojem ako se:
Svi elementi pomnoze tim brojem
Samo jedna vrsta (bilo koja) pomnozi tim brojem
Samo jedna kolona(bilo koja) pomnozi tim brojem
Ne moze da se mnozi brojem
Inverzna matrica:
Ima determinantu jednaku nuli
Ima determinantu razlicitu od nule
Postoji samo za kvadratne matrice
Postoji za svaku matricu
Inverzna matrica je:
Transponovana matrica kofaktora polazne matrice
Ima determinantu razlicitu od nule
Matrica kofaktora polazne matrice
Transponovana matrica polazne matrice
Kofaktor je
Determinanta nizeg reda od polazne determinante
Matrica viseg reda od polazne matrice ukljucujuci I predznak mesta
Determinanta nizeg reda od polazne determinante ukljucujuci I predznak mesta
Matrica viseg reda od polazne matrice
Minor je:
Isto sto I kofaktor
Ima predznak mesta
Determinanta nizeg reda od polazne
Determinanta istog reda kao polazna
Adjungovana matrica je:
Matrica kofaktora
Transponnovana matrica minora
Transponovana matrica kofaktora
Matrica minora
Za inverznu matricu vazi:
A^-1 = (1 / detA) * adjA
A^-1 = adjA
A^-1 = (1 / detA) * A
A^-1 = - (1 / detA) * adjA
Matrica je regularna ako joj je:
Determinanta jednaka nuli
Determinanta razlicita od nule
Determinanta jednaka jedinici
Pojam nije vezan za vrednost determinanta
Matrice su jednake ako su
Istih dimenzija
Im svi clanovi jednaki
Im jednaki clanovi na glavnoj dijagonali
Nikad nisu jednake
Metode za resavanje sistema linearnih jednacina su:
Gausova metoda
Kramerova metoda
Matricna metoda
Laplasova metoda
Gausovom metodom mogu da se resavaju linearni sistemi:
Samo kvadratni
Proizvoljni
Resenja su uvek jednoznacna
Resenja ne moraju da budu jednoznacna
Metoda determinanti se naziva i:
Gausova metoda
Kramerova metoda
Sarusova metoda
Laplasova metoda
Kramerova metoda je:
Matricna metoda
Metoda koja se ne oslanja na matrice
Metoda determinanti
Metoda koja se ne oslanja na determinante
Kramerovom metodu se resavaju:
Proizvoljni sistemi
Iskljucivo kvadratni sistemi
Samo homogeni sistemi
Mogu I homogeni sistemi
Homogeni sistem:
Ako je determinanta sistema jednaka nuli sistem ima još rešenja osim trivijalnih
Ako je determinanta sistema jednaka nuli sistem nema vise resenja osim trivijalnih
Uvek ima trivijalno resenje
Ako je determinanta sistema razlicita od nule sistem iam jos resenja osim trivijalnih
Homogeni sistem je:
Onaj ciji su slobodni clanovi nula
Svaki ima trivijalno resenje
Sem trivijalnog uvek ima jos jednoznacnih resenja
Sem trivijalno moze da ima jos neodredjenih resenja
Netrivijalna resenja homogenog sistema:
Dobijaju se ako je determinanta sistema jednaka nuli
Dobijaju se ako je determinanta sistema razlicita od nule
Ne postoje
Uvek postoje
Matricna metoda za resavanje sistema:
Koristi se samo za kvadratne sisteme
Matrica sistema mora da bude regularna
Koristi se za proizvoljne sisteme
Matrica sistema mora da bude singularna
Gausova metoda se sastoji u sukcesivnom eliminisanju nepoznatih I transformacijom:
Samo u traugaoni sistem
Samo u trapezni sistem
U trougaoni sistem ili trapezni sistem
Samo u pravougaoni sistem
U metodi determinanti ako je D^1 0:
Sistem ima jedinstveno resenje
Xk = (Dk / D) , k = 1,2,K,n
Sistem nema resenje
Sistem ima beskonacno mnogo resenja
Kod Kramerove metode pomoćne determinante se dobijaju tako što se u determinanti sistema slobodnim članom zameni
Prva vrsta
Kolone redom
Samo poslednja kolona
Vrste redom
U metodi determinanti ako je D=0, $Di^1 0, i=1,K ,n
Sistem ima jedinstveno resenje
Xk = (Dk / D), k = 1,2,K ,n
Sistem nema resenje
Sistem ima samo beskonacno mnogo resenja
Sistem se može napisati u matričnom obliku kao:
AX = B
XA = B
X = AB
A = XB
Jednačina AX=B ima rešenje u obliku:
X = A^-1 * B
X = A^-1 * B^-1
X = AB^-1
X = A / B
Sistem je odredjen ako:
Nema resenja
Ima beskonacno mnogo resenja
Ima konacno mnogo resenja
Ima beskonacno mnogo resenja ili ih nema
Sistem je nemoguc ako:
Nema resenja
Ima beskonacno mnogo resenja
Ima konacno mnogo resenja
Ima beskonacno mnogo resenja ili ih nema
Sistem je neodredjen ako:
Nema resenja
Ima samo beskonacno mnogo resenja
Ima konacno mnogo resenja
Ima beskonacno mnogo resenja ili ih nema
Ako se Gausovom metodom sistem svodi na trougaoni sistem tada:
Resenja nema
Resenje je jednoznacno
Resenje je neodredjeno
Ima samo besnonacno mnogo resenja
Ako se Gausovom metodom sistem svodi na trapezni sistem tada:
Resenja nema
Resenje je jednoznacno
Resenje je neodredjeno
Ima samo beskonacno mnogo resenja
Sistemi su ekvivalenti ako:
Su resenja jednaka
Su resenja razlicita
Pojam nije vezan za resenja
Jednacine razmene mesta
Domen funkcije je:
Oblast definisanosti
Skup nezavisno promenljive za koje je definisana funkcija
Skup zavisno promenljive za koje je definisana funkcija
Skup vrednosti funkcije
Oblast definisanosti funkcije je:
Domen funkcije
Skup nezavisno promeljive za koje je definisana funkcija
Skup zavisno promenljive za koje je definisana funkcija
Skup vrednosti funkcije
Kodomen funkcije:
Oblast definisanosti
Skup nezavisno promenljive za koje je definisana funkcija
Skup zavisno promeljive za koje je definisana funkcija
Skup vrednosti funkcije
Prilikom ispitivanja funkcije domen se:
Mora odrediti
Ne mora odrediti
Pozeljno je odrediti
Zavisno od slucaja do slucaja
Funkcija je ogranicena ako:
a<f(x)<b
f(x)<b
f(x)>a
Pripada intervalu od plus do minus beskonacno
Nula funkcije je:
Presek funkcije sa x osom
Iskljucivo dodir funkcije sa x osom
Vrednosti zavisno promenljive za koje je funkcija 0
Vrednosti nezavisno promenljive za koje je funkcija 0
Linearna funkcija y=2x+3 je:
Ogranicena
Neogranicena
Ogradicena odozdo
Ogranicena odozgo
Maksimum funkcije je:
Tacka u kojoj funkcija menja znak
Tacka u kojoj funkcija iz rasta prelazi u opadanje
Tacka u kojoj funkcija iz opadanja prelazi u rast
Ekstrem funkcije
Ekstremi su:
Tacke u kojima funkcija menja znak
Tacka u kojima funkcija menja smisao monotonosti
Najveca I najmanja vrednost funkcije
Min I max
Minimum funkcije je:
Tacka u kojoj funkcija menja znak
Tačka u kojoj funkcija iz rasta prelazi u opadanje
Tacka u kojoj funkcija iz opadanja prelazi u rast
Ekstrem funkcije
Asimptote su:
Prave kojima se funkcija beskonacno priblizava ali je ne dodiruje
Prave kojima se funkcija beskonačno približava ali je dodiruje
Prave u kojima funkcija mora da bude definisana
Horizontalna asimptota:
Je horizontalna prava kojoj se funkcija beskonacno priblizava ali je ne dodiruje
Prava koju funkcija moze da je sece
Prava koju funkcija ne moze da je sece
Ima jednacinu y=const
Ako funkcija ima horizontalnu asimptotu
U beskonacno se priblizava nekoj horizontalnoj pravi
Nema kosu asimptotu
Nema vertikalnu asimptotu
Moze da se sece sa funkcijom u konacnim tackama
Vertikalna asimptota:
Je vertikalna prava kojoj se funkcija beskonacno priblizava ali je ne dodiruje
Se posmatra u odnosu na domen funkcije
Prava koju funkcija ne moze da sece
Ima jednacinu x =const
Kosa asimptota:
Je kosa prava kojoj se funkcija beskonacno priblizava ali ne dodiruje
Postoji ako ne postoji horizontalna
Ne postoji ako ne postoji horizontalna
Ima jednacinu y=kx+n
Tacka nagomilavanja:
Je isto sto I granicna vrednost
Je tacka u cijoj se maloj okolini nalazi beskonacno mnogo clanova niza
Je tacka u cijoj se maloj okolini nalazi beskonacno mnogo clanova niza a van nje je samo konacno mnogo
Moze da bude samo jedna
Parna funkcija je:
Simetricna sa x osom
Simetricna sa y osom
Simetricna sa koordinatnim pocetkom
F(-x)=f(x)
Ako funkcija stalno raste ona:
Nema ekstreme
Ima ekstreme
Moze da ima ekstreme
Ekstremi nisu vezani za pojam monotonosti
Ako funkcija stalno opada ona:
Nema ekstreme
Ima ekstreme
može da ima ekstreme
ekstremi nisu vezani za pojam monotonosti
Deo matematike koji proucava izvode zove se:
Diferencijalni racun
Intergralni racun
Diskretni racun
Matricni racun
Tvorci diferencijalnog racuna su:
Njutn I Laplas
Njutn I Lagranz
Njutn I Lajbnic
Njutn I Lopital
Problem tangente prvi je resio:
Njutn
Lagranz
Lajbnic
Lopital
Ako je funkcija diferencijalna u tacki ona:
Ima izvod u toj tacki
Nema izvod u toj tacki
Neprekidna je u toj tacki
Nije neprekidna u toj tacki
Funkcija je diferencijalna u tacki ako je:
Postoje levi izvod I desni izvod, I jednaki su
Postoje levi izvod I desni izvod, I nisu jednaki
Levi izvod jednak desnom izvodu I moraju da budu jednaki vrednosti funkcije u toj tacki
Dovoljno je da postoji samo jedan od izvoda (levi ili desni)
Geometrijsko tumacenje izvoda:
Vrednost prvog izvoda u dodirnoj tački jednak je koeficijentu pravca tangente u bilo kojoj tački
Vrednost prvog izvoda u dodirnoj tacki jednak je koeficijentu pravca tangete u toj tacki
Vrednost drugog izvoda u dodirnoj tački jednak je koeficijentu pravca tangente u toj tački
Vrednost prvog izvoda u dodirnoj tački jednak je koeficijentu pravca normale na tangentu u toj tački
Lopitalova teorema omogucava:
Izračunavanje limesa nekih neodređenih izraza
Izračunavanje limesa svih izraza
Zadate funkcije moraju da budu diferencijabilne
Zadate funkcije ne moraju da budu diferencijabilne
Stacionarna tacka je ona tacka:
U kojoj funkcija mora da ima ekstrem
U kojoj funkcija moze da ima ekstrem
Potreban, ali ne I dovoljan uslov za ekstrem
To je nula prvog izvoda
Ako je f ¢(x)>0 onda je funkcija u tom intervalu:
Rastuca
Opadajuca
Kovneksna
Konkavna
Ako je f ¢(x)<0 onda je funkcija u tom intervalu:
Rastuca
Opadajuca
Konveksna
Konkavna
Ekstrem funkcije je tacka:
U kojoj je prvi izvod nula
Nula prvog izvoda je potreban uslov za ekstrem
Tacna u kojoj dolazi do promene monotonosti
Tacka u kojoj dolazi do promene konveksnosti
Ekstremi su:
Tacke u kojima funkcija izvoda menja znak
Tacke u kojima funkcija menja smisao monotonosti
Najveca I najmanja vrednost funkcije
Min I max
Maksimum funkcije je:
Tačka u kojoj funkcija izvoda menja znak
tačka u kojoj funkcija f ¢(x0 )<0
Tačka u kojoj funkcija iz opadanja prelazi u rašćenje
tačka u kojoj funkcija f ¢(x0 )>0
Minimum funkcije je:
Tačka u kojoj funkcija izvoda menja znak
Tačka u kojoj funkcija f ¢(x0 )<0
Tačka u kojoj funkcija iz opadanja prelazi u rašćenje
Tačka u kojoj funkcija f ¢(x0 )>0
Prevojna tacka je:
Nula prvog izvoda
Nula drugog izvoda
Tacka u kojoj funkcija iz opadanja prelazi u rascenje
Tacka u kojoj funkcija iz konveksnosti prelazi u konkavnost
Funkcija je konveksna:
ako sve tačke grafika leže ispod bilo koje tangente na tom intervalu
Ako sve tačke grafika leže iznad bilo koje tangente na tom intervalu
Ako je f ¢(x)<0 u svakoj tački tog intervala
Ako je f ¢(x)>0 u svakoj tački tog intervala
Funkcija je konkavna:
Ako sve tačke grafika leže ispod bilo koje tangente na tom intervalu
Ako sve tačke grafika leže iznad bilo koje tangente na tom intervalu
) Ako je f ¢(x)<0 u svakoj tački tog intervala
Ako je f ¢(x)>0 u svakoj tački tog intervala
Lokalni maksimum je:
Najveca vrednost funkcije na intervalu
Ekstrem
Tačka u kojoj mora da je f ¢(x)=
Tačka u kojoj može da je f ¢(x)=0
{"name":"Ispit Matematika", "url":"https://www.quiz-maker.com/QPREVIEW","txt":"Matrica je:, Dimenziju matrice odredjuje:, Element aij matrice, nalazi se u:","img":"https://www.quiz-maker.com/3012/images/ogquiz.png"}